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Experiment 1: Gegenkopplungsverstärker und Instrumentenverstärker
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.. _Matlab: https://de.mathworks.com/products/matlab.html 
.. _RedPitaya: https://www.redpitaya.com/
.. _slew rate: https://en.wikipedia.org/wiki/Slew_rate

In diesem Experiment sollen drei Grundschaltungen eines Operationsverstärkers untersucht werden. Zu diesen gehören ein

- Impedanzwandler/Spannungsfolger
  
- invertierender Verstärker

- nicht-invertierender Verstärker.
  

Grundsätzlich werden beim Schaltungsentwurf mit Operationsverstärkern (Opamps) die Eingengschaften für Handrechnungen
indealisiert. Das heißt, dass Opamps einen unendlich hohen Verstärkungfaktor und Eingangswiderstand aufweisen, sowie
eine unendlich große Bandbreite. Der Ausgangswiderstand wird mit :math:`0\,\Omega` angenommen. Geht man in die
Praxis über, stellt man sehr schnell fest, dass alle genannten Werte endlich sind und beim Schaltungsentwurf
unterschiedliche Probleme verursachen können. Das Ziel dieses Experiments ist eine messtechnische Untersuchung der
Grundschaltungen eines Opamps und ein Gewinn an Wissen und Erfahrung beim Umgang mit diesen elektronischen Bauelementen.


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Unity Gain - Schaltung
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Eine Unity Gain-Schaltung, auch Impedanzwandler oder Spannungsfolger genannt, ist ein Operationsverstärker, 
dessen Ausgang mit dem invertierenden Eingang kurzgeschlossen ist :numref:`01_fig_02`. 

.. figure:: img/Experiment_01/Experiment_01_fig_02.png
	 :name: 01_fig_02
	 :align: center

	 Schematische Darstellung einer UnityGain-Schaltung

Aus der Theorie wissen wir, dass der Ausgang eines unberschaltetenen Opams gleich dem Verstärkungsfaktor :math:`A_0`
multipliziert mit der Differenz der beiden Eingänge :math:`U_+` und :math:`U_-` ist. Dabei ist :math:`U_+` der
nicht-invertierende und :math:`U_-` der invertierende Eingang des Operationsverstärkers. Damit ergibt sich allgemein für
den unbeschalteten Operationsverstärker: 

.. math::
   :label: 01_eq_01

   U_{OUT} = A_0 \cdot (U_+ - U_-)


Aufgrund der erwähnten *Rückkopplung* kann Unity Gain als eine Regelstrecke betrachtet werden. Systemtheoretisch
ist nun das Verhältnis von Ausgang zu Eingang eine Übertragungsfunktion :math:`H(s)` (:eq:`01_eq_02`).

.. math::
   :label: 01_eq_02

   \frac{U_{OUT}}{U_{IN}} = \frac{A_0}{1+A_0}

Aufrund der direkten Rückkopplung (ohne andere Bauteile, Kurzschluss) kann idealisiert angenommen werden, dass :math:`A_0`
gegen Unendlich strebt. Durch diese Annahme folgt nach dem Kürzen der :eq:`01_eq_02` das Übersetzungverhältnis für eine
Unity Gain-Schaltung:

.. math::
   :label: 01_eq_03

   \frac{U_{OUT}}{U_{IN}} = 1

Mit dieser Erkenntnis kann man nun den Nutzen des Unity Gain in Frage stellen. Tatsächlich ist es eine sehr nützliche
Schaltung eines Operationsverstärkers. Wie bereits erwähnt, wird diese Schaltung auch Spannungsfolger oder
Impedanzwandler genannt. Die Namen werden aus der grundlegenden Funktion dieser Schaltung abgeleitet.
**Ein Unity Gain liefert am Ausgang die vom Eingang vorgegebene Spannung. Diese ist lastunabhängig.** 
Durch diese Eigenschaft kann der Unity Gain als Spannungsstabilisator oder als Entkoppler zweier Teilsystemen eingesetzt
werden. Nach :eq:`01_eq_03` ist die Übertragungsfunktion des Unity Gain gleich 1. Das heißt, dass die Ausgangsspannung
gleich der Differenz der Eingangsspannungen :math:`U_+` und :math:`U_-` ist. Die Simulations- und Messergebnisse sind in
der :numref:`01_fig_03` (oben) dargestellt. Daraus ist ersichtlich, dass sich die beiden Signale überlagern, was einer
Übertragung von 1 entspricht. 

.. figure:: img/Experiment_01/Amplifier_output.png
	    :name: 01_fig_03
	    :align: center

	    Simulationen und Messungen der Ein- und Ausgangsspannungen der 3 grundlegenden Beschaltungsarten
	    eines Oparationsverstärkers [Unity Gain (oben), nicht-invertierender Verstärker (mitte),
	    invertierender Verstärker (unten)]


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Nicht-invertierende und invertierende Operationsverstärkerschaltungen
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Zwei weitere grundlegende Schaltungen des Operationsverstärkers sind die sogenannten nicht-invertierenden und
invertierenden Schaltung. 

.. figure:: img/Experiment_01/Experiment_01_fig_03.png
	    :name: 01_fig_04
	    :align: center

	    Nicht-invertierende (links) und invertierende (rechts) Verstärker

Sowohl beim nicht-invertierenden als auch beim invertierenden Verstärker hängt der Verstärkungsfaktor :math:`A_0`
vom Verhältnis der beiden Widerstände ab. Für den nicht-invertieren Verstärker ergibt sich:

.. math::
   :label: 01_eq_04

   \frac{U_{OUT}}{U_{IN}} = 1 + \frac{R_2}{R_1}

Nach Ausmultiplizieren egibt sich für die Ausgangsspannung :math:`U_{OUT}`

.. math::
   :label: 01_eq_05

   U_{OUT} = U_{IN} + \frac{R_2}{R_1} \cdot U_{IN}
   

Dabei ist :math:`R_1` der Widerstand, der am invertierenden Eingang :math:`U_-` anliegt und :math:`R_2` der zwischen
dem Ausgang :math:`U_{OUT}` und dem invertierenden Eingang liegt (:numref:`01_fig_04`). :math:`U_{IN}` ist die
Eingangsspannung, die an einem der Eingänge des Opamps anliegt.

Aus der :numref:`01_fig_03` ist ersichtlicht, dass bei einem nicht-invertierenden Verstärker die Eingangsspannung nach
:eq:`01_eq_05` verstärkt wird. Die Ausgangsspannung liegt mit der Eingangsspannung in Phase.

Für den invertierenden Verstärker ist das Verhältnis von Ausgangsspannung zu Eingangsspannung gegeben als

.. math::
   :label: 01_eq_06

   \frac{U_{OUT}}{U_{IN}} = -\frac{R_2}{R_1}

Nach Ausmultiplizieren ergibt sich für die Ausgangsspannung :math:`U_{OUT}`:

.. math::
   :label: 01_eq_07

   U_{OUT} = -\frac{R_2}{R_1} \cdot U_{IN}

Nach :eq:`01_eq_07` bekommt man eine um :math:`\pi` gedrehete und um das Widerstandsverhältnis
verstärkte Ausgangsspannung :math:`U_{OUT}`. Diese ist in :numref:`01_fig_03` (unten) graphisch dargestellt.


Messtechnische Untersuchung der Grenzbereiche
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Wie oben beschrieben unterliegt ein Operationsverstärker physikalischen Grenzen. Diese Grenzen sollen hier untersucht werden.

Bandbreite
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Zunächst soll die Bandbreite und ihre Abhängigkeit von der Verstärkung untersucht werden. Die kann z.B. mit Hilfe von
Red Pitaya und der sich darauf befindenden App "Bode-Analyser" durchgeführt werden. Aufgrund von unzureicheder
Datenexportmöglichkeiten, wurde an dieser Stelle ein Programm zur Bode-Plot-Darstellung entwickelt. Gundsätzlich wird
das Programm zur Messautomatisierung des Red Pitayas eingesetzt und ist ohne Weiteres nur mit diesem kompatibel.

.. literalinclude:: ../files/meas/01_Amplitudengangmessung.py
   :language: python
   :linenos:
   :name: Freqmessung

Mit Hilfe des Programms konnten die Bandbreiten der jeweiligen Schaltung ermittelt werden. Um eine fundierte Aussage
über die Messgenauigkeit treffen zu können, wurden die Amplitudengänge der entsprechenden Schaltungen simuliert. Diese
sind zusammen mit den Messungen in :numref:`01_fig_06` dargestellt.

.. figure:: img/Experiment_01/amplitudengang_messung_simulation.png
   :name: 01_fig_06
   :align: center

   Vergleich der Messungen mit den Simulationen
   
Die Simulationsergebnisse zeigen prinzipiell das gleiche Tiefpassverhalten wie die Messergebnisse.
Der Amplitudengang der Messungen weicht kaum von den Simulationsergebnissen ab. Die Abweichungen liegen nur im hohen
Frequenzbereich. Daher liegen die Fehlerquellen in den kapazitiven Eigenschaften der Messspitzen und den langen
Leitung. Andererseits scheinen die Simulationsdaten des Operationsverstärkers sehr exakt zu sein, das die beiden
Ergebnisse kaum von einander abweichen.

Mit Hilfe von Matlab_ können die :math:`-3\,dB` - Grenzen der jeweiligen gemessenen Schaltungen ermittelt werden.
Es ergeben sich für:

- UnityGain = :math:`3,16 \cdot 10^6\,Hz`

- Nichtinvertierender Verstärker = :math:`1,05 \cdot 10^6\,Hz`

- Invertierender verstärker = :math:`1,05 \cdot 10^6\,Hz`

Diese Information liefert eine wichtige Erkenntnis: Die Bandbreite der Operationsverstärker hängt scheinbar mit dem
Verstärkungsfaktor :math:`A_0` zusammen. Je größer der Verstärkungsfaktor, desto schmaler ist die Bandbreite des Opamps.
Diese Erkenntniss ist wichtig für die Auslegung hochfrequenter Schaltung mit einer Verstärkung. Auf eine mathematische
Herleitung der Bandbreite wird an dieser Stelle verzichtet.


Maximale Verstärkung
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Nun soll der Verstärkungsfakor :math:`A_0` auf seinen maximalen und minimalen Wert untersucht werden. Abgeleitet aus
:eq:`01_eq_05` und :eq:`01_eq_06`, besteht die Abhängigkeit zwischen dem Verstärkungsfaktor :math:`A_0`, der
Eigangsspannungdifferenz :math:`U_{IN}` und der Ausgangsspannung :math:`U_{OUT}`.

.. math::
   :label: 01_eq_08

   U_{OUT} = A_0 \cdot U_{IN}

Da theoretisch die Eigangsspannung und der Verstärkungsfaktor variable sind, wird hier die Ausgangsspannung des Opamps
auf ihre Grenzen überprüft. Dazu wird ein DC-Sweep durchgeführt. Zu diesem Zweck wurde ein weiteres Programm
erstellt.

.. literalinclude:: ../files/meas/03_DCsweep.py
   :language: python
   :linenos:
   :name: DCsweep

Es soll mit Hilfe des nicht-invertierenden Verstärkers ein Gleichspannungsdurchlauf durchgeführt werden. Für die
Ausgangsspannung ergibt sich ein Spannungsverlauf nach :numref:`01_fig_07`.

.. figure:: img/Experiment_01/DCsweep.png
   :name: 01_fig_07
   :align: center

   Grenzmessung der Ausgangsspannung
   
Das Ergebniss zeigt, dass die Ausgangsspannung bei ca. :math:`9 \, Volt` ihr Maximum und bei ca. :math:`-9 \, Volt`
ihr Minimum aufweist. Hier wird der Zusammenhang zwischen der Ausgangsspannung und der Versorgungsspannung des
Operationsverstärkers deutlich. Die Maximalwerte der Ausgangsspannung sind gleich der Versorgungsspannung [#]_.
Die Flankensteilheit ist abhängig vom Verstärkungsfaktor. 

Fazit und Beispiele
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Mit Hilfe der durchgeführten Messungen konnten die grundlegende Funktionen und die realen Grenzen eines Operationsverstärkers
aufgezeigt werden. Der Einsatz des Red Pitaya Messlabors erwies sich für hohen Frequenzbereich eher unzuverlässig. Des Weiteren
verdrehte der Red Pitaya je nach Päriodenauflösung die Phase, sodass der Datenexport oft fehlerhaft war. Trotzdessen ist
die Möglichkeit der Messautomatisierung von großem Vorteil. Daher bietet sich der Eisatz von SCPI-fähigen Geräten bei
diesen Messungen an.  

Beispiele
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Als erstes wird ein negativ rückgekoppelter Verstärker betrachtet. Prinzipiell ist das eine
Kaskadierung (Hintereinanderschaltung) der drei Grundschaltungen :numref:`01_fig_08`. 

.. figure:: img/Experiment_01/negative_feedback.png
   :name: 01_fig_08
   :align: center

   Negativ-Rückgekoppelter-Verstärker
   
Hier wird statt eines Sinussignals ein Rechtecksignal eingespeist. Die Ausgänge der Schaltung sind in
:numref:`01_fig_09` graphisch dargestellt.

.. figure:: img/Experiment_01/Verstaerker_Rueckkopplung_neu.png
   :name: 01_fig_09
   :align: center

   Messergebnisse der Ausgangsspannungen des Negativ-Rückgekoppelten-Verstärkers
   
Aus der Messung ist zu entnehmen, dass die bei einem Rechteckeingangssignal, die Ausgangssignale bei den Grenzübergängen eine
Abrundung aufweisen. Dieses Phänomen bezeichnet man als `slew rate`_ und ist auf die kapazitive Eigeschaften des OPAMS
zurück zu führen.  

Als zweites Beispiel wird ein Instrumentenverstärker betrachtet. Dieser kann aus zwei oder drei Operationsverstärkern
:numref:`01_fig_10` aufgebaut werden und wird oft, aufgrund seiner Eigenschaften, in der Medizintechnik eingesetzt.   

.. figure:: img/Experiment_01/Instrumentenverstaerker.png
   :name: 01_fig_10
   :align: center

   Instrumentenverstärker mit drei Opams (links) und zwei Opams (rechts)

Aus der Abbildung wird deutlich, dass die Verstärkung lediglich vom Widerstand :math:`nR` abhängt. Dies erleichtert
die Einstellung des Instumentenverstärkers. Als Beispiel wurde ein Instrumentenverstärker aus zwei Operationsverstärkern
aufgebaut und der Ausgang gemessen. Die Messergebnisse sind in der :numref:`01_fig_11` graphisch dargestellt.

.. figure:: img/Experiment_01/Instrumenten.png
   :name: 01_fig_11
   :align: center

   Eingangs- und Ausgangssignale eines Instrumentenverstärkers aus 2 Opams

Aufgrund der Darstellung kann festgestellt werden, dass hier die Differenz der Eingangsspannungen verstärkt wird. Dies bezieht
sich nun auf zwei Eingangssignale gegeneinander und nicht ein Signal gegen die Masse. 


.. [#] Die Angaben sind aus den jeweiligen Datenblättern zu entnehmen